Abmahnung wurde vor einem halben Jahr erteilt, ohne Unterschrift

Eine Abmahnung ist auch ohne Unterschrift des Arbeitnehmers gültig. Daraus folgt, dass es auch keine Pflicht zur Unterschrift gibt.

Bist du sicher RudiRadeberger? Ich würde als AN die Abmahnung ohne Unterschrift zwar annehmen, aber ich bin mir nicht sicher ob das so rechtens ist. Du darfst mich gerne eines besseren belehren.
Zumindest finde ich es merkwürdig, dass man nach einem halben Jahr dies nachholen möchte.

wofür soll er denn unterschreiben?
dass er die Abmahnung erhalten hat oder sogar dass das was da drin alles korrekt ist?

Unser AG will auch immer dass eine Abmahnung unterschrieben wird, wir sagen dann immer dass die Kolleg*innen nicht unterschreiben sollen, hat noch nie Probleme gegeben, die Abmahnung wird immer von 2 Vorgesetzten übergeben quasi als Übergabebeweis. Und was ist eine Abmahnung denn mehr als ein "Du mein lieber Mitarbeiter ich will ja gerne mit dir zusammen weiter machen aber was Du da gemacht hast war falsch und wenn du damit nicht aufhörst muss ich mir überlegen ob ich mit Dir weiter machen kann."?

@UdoWoe

Eine Abmahnung muss nicht einmal schriftlich erfolgen.

korrekt - es gibt keine Formvorschrift für eine Abmahnung.
Sie kann auch mündlich erteilt werden.
Von daher muss weder der AG die Abmahnung unterschreiben, noch muss der AN den Empfang oder die Richtigkeit der Vorwürfe durch Unterschrift bestätigen.
Das der AN die Abmachung erhalten hat könnte der AG auch durch Zeugen bestätigen lassen.

"oder die Richtigkeit der Vorwürfe durch Unterschrift bestätigen."

das sollte man sowieso NIE ... allerhöchstens eine Empfangsbestätigung. Und selbst davon würde ich abraten und man muss es ja auch nicht.