Das kommt darauf an...
Der Arzt bescheinigt die Arbeitsunfähigkeit, basierend auf die ihm vorliegende Kentnisse der ausgeübte Tätigkeit. Dabei handelt es sich um eine Prognose "voraussichtlich bis..." steht in der Bescheinigung. So besteht dann auch keine Pflicht ins Bett zu liegen, auch wenn man wieder gehen kann, nur weil man eine AU hat, stärker noch, man kann sogar vor Ablauf des vom Arzt prognostizierten Datums die Arbeit wieder aufnehmen (Troll ich höre dich poltern: Ob das Schlau ist steht nicht zur Debatte!).
Aus der Tatsache das man von Zuhaus aus doch ein oder zwei Stunden arbeitet könnte aber der AG ableiten, dass keine Arbeitsunfähigkeit vorliegt. Das wäre ein denkbares Argument um die AU zu erschüttern und somit die Lohnfortzahlung zu gefährden. Schließlich gibt es nur Lfz bei AU, ist dieser nachweislich der geleistete Arbeit nicht gegeben, gibt es keine Lfz...
Es ist also dringend davon abzuraten während einer AU von zuhause aus zu arbeiten.
Kritisch ist es dann, wenn man als freigestelltes BR-Mitglied (§38 BetrVG) seine BR-Tätigkeit während einer Erkrankung nachgeht. Das BAG hat dazu klar Stellung bezogen. Beschlüsse etc die unter Mitwirkung von voll freigestellten BR-Mitglieder während deren AU erfolgen sind in der Regel unwirksam...
Bei der Kinder-AU liegt die Lage etwas anders.
Da wird nicht die eigene AU bescheinigt, sondern eigentlich die aufgrund einer Erkrankung eines Kindes erforderlichen Betreuung/Pflege, welche an der Arbeit am Arbeitsplatz hindert. Deswegen dass es hier auch keine Lfz gibt, sondern Krankengeld, gezahlt von der Krankenversicherung als Lohnersatzleistung. Hier kann man argumentieren, dass die im Rahmen der mobiler Arbeit von zuhause aus geleistete Arbeit den AU nicht erschüttert. Das Kind ist nicht weniger krank, wenn es gerade mal schläft und man seine Post erledigt.
In beide Fälle entstehen jedoch keine Überstunden. Im ersten Fall dürfte das jetzt klar sein, im zweiten Fall hängt das mit der erfolgte Lohnersatzleistung (Krankengeld) zusammen. Entweder ich bekomme für ein Stunde eine LEL oder ich bekomme mein Gehalt, beides gleichzeitig geht nicht. Würde die Versicherung feststellen, dass trotz LEL (KG) das Gehalt weiter gezahlt wird, könnte es die Berechtigung der LEL in Frage stellen.
Außerdem, aus eigener Erfahrung kann ich sagen, wer zuhause ein krankes Kind betreut sollte froh sein, wenn das Kind mal schläft und man fünf minuten für sich hat. Ganz ehrlich, geht die Firma Pleite wenn ich meine eMails nicht abrufe während einer AU, dann hat die Firma ganz andere Probleme, denn normale Arbeitnehmer sind echt nicht unersetzbar.