Bin ich in einer Festeinstellung?

Was war den vom 01.08. - 05.08.? Weiter hat der AG dich auf Montage gesandt oder bist Du einfach gefahren?

Wurde durch den AG dort eingeteilt
Steht so in der Einteilung.

@ Gefahrinverzug

Das BetrVG hat damit überhaupt nichts zu tun.

Ein Arbeitsvertrag kommt wie viele andere Verträge durch Angebot und Annahme des Angebots zustande; die Schriftform ist für den Arbeitsvertrag nicht zwingend. Allerdings muss der AG bem Nachweisgesetz genüge tun.

In Deinem Fall hat der AG die Montagetätigkeit ab 5.8. angeboten und Du hast das Angebot angenommen, indem Du am Montag an Ort und Stelle warst.

Da eine Befristung zwingend vor Antritt der befristeten Tätigkeit schriftlich vereinbart worden sein muss, handelt es sich bei Dir nun um ein unbefristetes Arbeitsverhältnis.

und nachlesen kannst du das im §14 abs 4 im teilzeit-und befristungsgesetz

wie es aussieht, könnte ein unbefristeter Vertrag entstanden sein,
es gibt aber - je nachdem, wie es bei dir nun genau aussieht - einige Fallstricke:

(z.b. Art der Befristung - Zeit kombiniert mit Zweck, Zeit zwar abgelaufen, Zweck aber noch nicht erreicht)

oder bereits vor längerem geäußerte Ablehnung einer unbefristeten Verlängerung, zählt im Sinne eines unverzüglichen Widerspruchs nach § 15 TzBfG :
"(5) Wird das Arbeitsverhältnis nach Ablauf der Zeit, für die es eingegangen ist, oder nach Zweckerreichung mit Wissen des Arbeitgebers fortgesetzt, so gilt es als auf unbestimmte Zeit verlängert, wenn der Arbeitgeber nicht unverzüglich widerspricht oder dem Arbeitnehmer die Zweckerreichung nicht unverzüglich mitteilt. ")

oder auch Unwägbarkeiten (der AG schiebt dir doch noch eine Befristung nach und lässt dich rückwirkend unterschreiben, oder er legt dir eine Sachgrundbefristung vor, oder oder)

deshalb würde ich dir raten, mucksmäuschenstill zu bleiben

einfach normal weiterarbeiten, das Thema "Arbeitsvertrag" keinesfalls ansprechen geschweige denn überall herumzutönen, "juhu, ich bin unbefristet"

Letztlich müsstest Du dann aber auch ggf klagen, wenn der AG es später bestreitet. Es soll AG geben, welche AN die sie verklagt haben besonders lieben, was sich dann auch stets wieder zeigt.