Welche Gewerschaft ist für wen zuständig?

Ganz einfach: Zuständig ist zunächst die Gewerkschaft die im Betrieb eigene Mitglieder hat (= eine im Betrieb vertretene Gewerkschaft), das können auch mehrere sein.

Am Ende (wenn es dann um BR-Arbeit geht) ist relevant ob der AG im AG-Verband ist und damit die dadurch ausgelöste Tarifbindung. Das hat dann aber immer noch nichts mit der Frage einer "im Betrieb vertretenen Gewerkschaft", so weit diese Beteiligungsrechte aus dem BetrVG hat, zu tun.