BR muss seitens des AG über Abmahnung informiert werden?

Nö, muss er nicht.

Unser Chef machts trotzdem, aber einen gesetzlichen Zwang gibt es dafür nicht.

Und da er keine Pflicht dazu hat, würde ich immer mit den Kollegen kommunizieren, dass sie im Falle einer Abmahnung zu Euch kommen....sollen / können/etc.

Ich glaube bei uns im Betrieb wurden viele Abmahnungen einfach ´hingenommen´.
Mittlerweile kommen sogar die Abteilungsleiter zu uns, die eine Abmahnung erhalten haben*zwinker*