Abmahnung - Muss man die Übergabe einer Abmahnung quittieren?

Muß er nicht.

Eine Abmahnung sollte ein AN grundsätzlich nicht unterschreiben sondern eine schriftliche Gegendarstellung mit zur Personalakte legen.

Da kann ich nicht ganz mitgehen. Ein Einspruch macht nur dann Sinn, wenn der AN sich ganz sicher ist, dass ihm der Grund für die Abmahnung nie wieder unterläuft. Wenn die Abmahnung eines Tages aus der Personalakte genommen wird, bleibt der Einspruch aber drin und somit ist auch später noch sichtbar, das es hier mal Probleme gab.
Gegenzeichnen muss er sie nicht, und wenn dann nur mit "zur Kenntnis genommen". Da Personalakten dem AG gehören, kann er dort auch ablegen was er möchte, ob nun mit oder ohne Unterschrift des AN.