Dürfen alle BR Mitglieder eine E-Mail versenden oder nur der BR Vorstand.

Jedes einzelne BRM kann natürlich mails verschicken, ABER da spricht er nur für sich selbst nicht für den gesamten BR.

Der BRV vertritt gem. BetrVG den BR (im ganzen) Er kann also mails im Namen des BR verschicken.

wenn der BR sich nicht trauen sollte den eigenen Namen unter eine Mail zu setzen, dann sollte man sich vielleicht hinterfragen, ob es die richtige Aufgabe ist, die man hier übernommen hat. Ansonsten sollte doch eigentlich klar sein, dass ihr unter eine Mail schreiben könnt was ihr wollt, für den AG ist der BRV (zu recht) der Vertreter nach außen des Gremiums

Und zu deiner 2. Frage: nach dem Gesetz (und erst recht in der Praxis) braucht es einen Stellvertreter

https://www.gesetze-im-internet.de/betrvg/__26.html

Die Mitglieder sollten vielleicht auch mal eine Schulung machen.

Ist das das schlimm, wenn wir kein Stellvertretenden haben? Ist es okay, wenn ein Mitglied von dem BR Haupt Email Adresse antwortet und signiert mit der Betriebsrat?

Der Betriebsrat kann jederzeit jemand anderen als den BRV beauftragen, Schreiben zu verfassen, zu unterschreiben und zu verschicken. Das geht jedoch nur mit einem Beschluß des Gremiums. Es ist nämlich die originäre, vom Gesetz vorgeschriebene Aufgabe des BRV, den Betriebsrat nach außen hin zu vertreten und wenn er nicht da ist, muss diese Aufgabe der Stellvertreter erledigen => auch das sieht das Gesetz so vor.
Und deshalb: Ist das das schlimm, wenn wir kein Stellvertretenden haben? Ja! Besucht dringend Schulungen, wenn ihr vernünftige und rechtssichere BR Arbeit leisten möchtet, ansonsten lasst es lieber sein!